Уникальные учебные работы для студентов


Реферат степени с рациональными показателями и их свойства

Свойства степеней с иррациональными показателями.

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

Свойства степеней с натуральными показателями По определению степени с натуральным показателем степень an представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем: Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, их правые и левые части можно поменять местами.

  1. Докажем основное свойство степени. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.
  2. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем.
  3. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.
  4. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем.
  5. Теперь озвучим свойство возведения степени в степень.

Теперь рассмотрим каждое из них подробно. Начнем реферат степени с рациональными показателями их свойства свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: Докажем основное свойство степени.

На этом доказательство завершено. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями.

Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем — свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Теперь рассмотрим свойство степени произведения: Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей.

Степень с рациональным показателем

Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем. Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство.

Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем. Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом.

А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень an есть положительное число.

Переходим к отрицательным основаниям степени.

  • Переходим к отрицательным основаниям степени;
  • Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями.

Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой. Переходим к доказательству этого свойства.

  • Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения;
  • Переходим к отрицательным основаниям степени;
  • Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень an есть положительное число;
  • Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями;
  • Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

Для примера приведем верное неравенство. Осталось доказать вторую часть свойства. К началу страницы Свойства степеней с целыми показателями Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

  1. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем.
  2. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени.
  3. Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

Степень с целым отрицательным показателема также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

  • Для наглядности покажем это свойство на примере;
  • Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т;
  • Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения;
  • Для произведения трех множителей в степени 7 имеем;
  • Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей;
  • Для произведения трех множителей в степени 7 имеем.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

VK
OK
MR
GP